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《概率论与数理统计》期末试卷A (精选10)
参考数据: $\Phi(1) = 0.841$ ， $\Phi(2) = 0.977$ ， $Z_{0.025} = 1.96$ ， $t_{0.025}(15) = 2.13$
一、填空题（每格 3 分，共 42 分）
- 设 $A, B$ 是两个事件，且 $P(A) = 0.8$ ， $P(B) = 0.5$ ， $P(A - B) = 0.4$ ，则 $P(A \cup B) =$ ______ , $P(A \bar{B}) =$ ______
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答案： $0.9$ , $0.4$
解析：
第一步：求交集概率
利用公式 $P(A-B) = P(A) - P(AB)$。 $0.4 = 0.8 - P(AB) \Rightarrow P(AB) = 0.4$。
第二步：计算并集概率
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB) = 0.8 + 0.5 - 0.4 = 0.9$。
第三步：计算 $P(A \bar{B})$
依据定义，$A \bar{B}$ 即为 $A-B$，故题中已给出 $P(A \bar{B}) = 0.4$。
难度: ⭐
考点: #概率减法公式 #并集概率公式
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📖 相关公式与知识点:
- 并集公式：$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB)$
- 差集公式：$P(A - B) = P(A) - P(AB)$
思路分析
本题属于基本公式套用。注意 $A-B$ 与 $A \bar{B}$ 是同一种表达方式。
🔄 举一反三
- 若 $P(A)=0.5, P(B)=0.6, P(AB)=0.3$，求 $P(\bar{A}B)$。
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答案：$0.3$
解析：$P(\bar{A}B) = P(B-A) = P(B)-P(AB) = 0.6-0.3=0.3$。
- 考虑一元二次方程 $x^2 + Bx + C = 0$ , 其中 $B, C$ 分别是将一枚骰子接连抛掷两次先后出现的点数, 则该方程有重根的概率为 ______
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答案： $\frac{1}{18}$
解析：
第一步：分析重根条件
一元二次方程有重根 $\Leftrightarrow \Delta = B^2 - 4C = 0 \Leftrightarrow B^2 = 4C$。
第二步：罗列符合条件的样本点
$B, C \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$。
- 当 $C=1$ 时，$B^2=4 \Rightarrow B=2$。
- 当 $C=4$ 时，$B^2=16 \Rightarrow B=4$。
- 其余 $C$ 值时，$B^2$ 不是完全平方数或超出范围（如 $C=9, B=6$ 但骰子只有 6 点）。 符合条件的 $(B, C)$ 有：$(2, 1)$ 和 $(4, 4)$，共 2 类。
第三步：计算概率
样本空间总数为 $6 \times 6 = 36$。 概率 $P = 2/36 = 1/18$。
难度: ⭐⭐
考点: #古典概型 #判别式
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📖 知识点: 计算基本事件总数时，骰子两次抛掷为 $6^2$。
思路分析
将代数问题转为古典概型计数问题，注意骰子的取值范围限制。
🔄 举一反三
- 求该方程有实根的概率。
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答案：$17/36$
解析：需 $B^2 \ge 4C$。罗列 $B=1..6$ 对应的 $C$ 取值个数即可。
- 设 $X$ 服从参数为 2 的指数分布，则 $P\{X > \sqrt{D(X)}\} =$ ______
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答案： $e^{-1}$
解析：
对于 $X \sim Exp(2)$，参数 $\lambda = 2$。 其方差 $D(X) = 1/\lambda^2 = 1/4$。 标准差 $\sqrt{D(X)} = 1/2$。 $P\{X > 1/2\}$。根据指数分布概率公式 $P(X>t) = e^{-\lambda t}$ ($t>0$)： $P = e^{-2 \times \frac{1}{2}} = e^{-1}$。
难度: ⭐
考点: #指数分布 #方差计算
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📖 相关公式与知识点:
- 指数分布 $E(X)=1/\lambda, D(X)=1/\lambda^2$
- $P(X>x) = e^{-\lambda x}, x>0$ :::
🔄 举一反三
- $X \sim Exp(3)$，求 $P(X > 1/3)$。
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答案：$e^{-1}$
- 设 $X$ 和 $Y$ 相互独立, 且 $X \sim B(3,0.1), Y \sim B(6,0.1)$ , 则 $Z = X + Y \sim$ ______
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答案： $B(9, 0.1)$
解析：
二项分布的可加性：相互独立的 $B(n_1, p)$ 与 $B(n_2, p)$（注意 $p$ 必须相同）之和仍服从二项分布，参数为 $B(n_1+n_2, p)$。 故 $Z \sim B(3+6, 0.1) = B(9, 0.1)$。
难度: ⭐
考点: #二项分布性质
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📖 相关公式与知识点:
- 二项分布可加性：$B(n_1,p) + B(n_2,p) = B(n_1+n_2, p)$（独立且 $p$ 相同）
思路分析
注意可加性要求 $p$ 相同，本题 $p=0.1$ 一致。
🔄 举一反三
- $X \sim B(5,0.3), Y \sim B(10,0.3)$ 独立，求 $X+Y$ 的分布。
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答案：$B(15, 0.3)$
- 设随机变量 $X \sim U(0,6)$ , $Y \sim \pi(2)$ , 则 $E(X - 2Y + 1) =$ ______ , $E(X^2) =$ ______
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答案： $0$ , $12$
解析：
- 对于 $X \sim U(0, 6)$，$E(X)=3$，$D(X) = \frac{(6-0)^2}{12} = 3$。 $E(X^2) = D(X) + [E(X)]^2 = 3 + 3^2 = 12$。
- 对于 $Y \sim \pi(2)$（泊松分布），$E(Y)=2$。
- $E(X-2Y+1) = E(X) - 2E(Y) + 1 = 3 - 2(2) + 1 = 0$。
难度: ⭐⭐
考点: #均匀分布 #泊松分布 #期望方差性质
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📖 相关公式与知识点:
- $U(a,b)$：$E(X)=\frac{a+b}{2}, D(X)=\frac{(b-a)^2}{12}$
- $P(\lambda)$：$E(X)=D(X)=\lambda$
- $E(X^2) = D(X) + [E(X)]^2$
思路分析
分别求各分布的期望和方差，再利用线性性质组合。
🔄 举一反三
- $X \sim U(0,4), Y \sim P(3)$，求 $E(2X+Y)$。
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答案：$7$
- 设 $(X, Y) \sim N(2, 3, 4, 9, 0)$ ，则 $E(XY) =$ ______
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答案： $6$
解析：
根据正态分布参数描述，$\mu_X=2, \mu_Y=3, \sigma_X^2=4, \sigma_Y^2=9, \rho=0$。 $E(XY) = Cov(X, Y) + E(X)E(Y)$。 由于相关系数 $\rho=0$（意味着不相关，正态分布下亦独立），故 $Cov(X, Y) = 0$。 $E(XY) = 2 \times 3 = 6$。
难度: ⭐
考点: #二维正态分布 #不相关与独立
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📖 相关公式与知识点:
- $E(XY) = Cov(X,Y) + E(X)E(Y)$
- 二维正态中 $\rho=0 \iff$ 独立
思路分析
$\rho=0$ 时 $Cov=0$，直接相乘期望即可。
🔄 举一反三
- $(X,Y) \sim N(1,2,1,4,0.5)$，求 $E(XY)$。
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答案：$3$
- 设 $E(X) = \mu, D(X) = \sigma^2$ ,则根据契比雪夫不等式： $P(|X - \mu| < 3\sigma) \geq$ ______
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答案： $\frac{8}{9}$
解析：
契比雪夫不等式标准形式：$P(|X - \mu| \geq \epsilon ) \leq \frac{\sigma^2}{\epsilon^2}$。 取 $\epsilon = 3\sigma$，得 $P(|X - \mu| \geq 3\sigma) \leq \frac{\sigma^2}{9\sigma^2} = \frac{1}{9}$。 题目所求为其对立事件的概率： $P(|X - \mu| < 3\sigma) = 1 - P(|X - \mu| \geq 3\sigma) \geq 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$。
难度: ⭐
考点: #契比雪夫不等式
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📖 相关公式与知识点:
- $P(|X-\mu| \geq k\sigma) \leq 1/k^2$
- $P(|X-\mu| < k\sigma) \geq 1 - 1/k^2$
思路分析
先求 $\geq$ 的上界，再用 $1-$ 得到 $<$ 的下界。
🔄 举一反三
- $D(X)=1$，估计 $P(|X-E(X)| < 2)$ 的下界。
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答案：$3/4$
- 设 $X \sim B(100, 0.2)$ , 由中心极限定理, $P(X > 16) \approx$ ______
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答案： $0.841$
解析：
对于 $X \sim B(100, 0.2)$： $E(X) = np = 20, D(X) = npq = 16 \Rightarrow \sigma = 4$。 由中心极限定理，$P(X > 16) \approx P( \frac{X - 20}{4} > \frac{16 - 20}{4} ) = P(Z > -1)$。 利用正态分布对称性：$P(Z > -1) = P(Z < 1) = \Phi(1) = 0.841$。
难度: ⭐⭐
考点: #中心极限定理 #二项分布的正态近似
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📖 相关公式与知识点:
- $B(n,p)$ 近似 $N(np, np(1-p))$（$n$ 足够大）
- 标准化：$Z = \frac{X - np}{\sqrt{np(1-p)}} \approx N(0,1)$
思路分析
先求期望和方差，标准化后查标准正态表。
🔄 举一反三
- $X \sim B(200, 0.3)$，近似求 $P(X > 70)$。
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答案：约 $0.0618$
- 设 $X_{1}, \dots, X_{8}$ 是来自 $X \sim \chi^{2}(4)$ 的样本， $\bar{X}$ 为样本均值，则 $E(\bar{X}) =$ ______ , $D(\bar{X}) =$ ______
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答案： $4$ , $1$
解析：
对于 $\chi^2(k)$ 分布，均值为 $k$，方差为 $2k$。 本题中 $E(X) = 4, D(X) = 8$。 $E(\bar{X}) = E(X) = 4$。 $D(\bar{X}) = \frac{D(X)}{n} = \frac{8}{8} = 1$。
难度: ⭐⭐
考点: #卡方分布 #样本统计量分布
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- $\chi^2(k)$：$E(X)=k, D(X)=2k$
- $D(\bar{X}) = D(X)/n$
思路分析
记住卡方分布的期望和方差公式，直接代入。
🔄 举一反三
- $X \sim \chi^2(10)$，样本量 $n=5$，求 $D(\bar{X})$。
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答案：$4$
- 已知 $X \sim F(19, 2)$ , 则 $\frac{1}{X} \sim$ ______
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答案： $F(2, 19)$
解析：
F 分布的重要性质：若 $X \sim F(n, m)$，则 $1/X \sim F(m, n)$，即交换自由度位置。
难度: ⭐
考点: #F分布性质
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📖 相关公式与知识点:
- $X \sim F(n,m) \iff 1/X \sim F(m,n)$
思路分析
F 分布取倒数后自由度交换。
🔄 举一反三
- $X \sim F(5,10), P(X > c) = 0.05$，求 $P(1/X < 1/c)$。
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答案：$0.95$
- 设 $x_{1}, \dots, x_{16}$ 是来自 $X \sim N(\mu, 1)$ 的样本，已知 $\bar{x} = 4$，则 $\mu$ 的置信水平 0.95 的置信区间为 ______
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答案： $[3.51, 4.49]$
解析：
单正态总体均值 $\mu$ 的估计（方差已知时）： 置信区间公式为：$[\bar{x} - z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}]$。 代入数据：$n=16, \bar{x}=4, \sigma=1$。 对于 $1-\alpha=0.95$，查表得 $z_{0.025} = 1.96$。 误差限 $d = 1.96 \times 1 / \sqrt{16} = 1.96 \times 0.25 = 0.49$。 区间为：$[4 - 0.49, 4 + 0.49] = [3.51, 4.49]$。
难度: ⭐⭐
考点: #置信区间 #正态总体均值估计
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📖 相关公式与知识点:
- 样本量 $n$ 在分母的根号下。
思路分析
识别出 $\sigma=1$ 为已知条件，选用 $Z$ 分布（标准正态）进行区间构造。
二、综合解答题 (共 58 分)
- (9 分) 已知男子有 $5 \%$ 是色盲患者，女子有 $0.25 \%$ 是色盲患者．今从男女人数之比为 1:4 的人群中随机地挑选一人． (1) 试求此人是色盲患者的概率；
(2) 若此人恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？
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解析：
设事件 $A_1$ 为“此人为男性”，$A_2$ 为“此人为女性”，事件 $B$ 为“此人是色盲患者”。 已知：$P(A_1) = 1/5 = 0.2, P(A_2) = 4/5 = 0.8$。 $P(B|A_1) = 0.05, P(B|A_2) = 0.0025$。
(1) 全概率公式： $P(B) = P(B|A_1)P(A_1) + P(B|A_2)P(A_2)$$= 0.05 \times 0.2 + 0.0025 \times 0.8 = 0.01 + 0.002 = 0.012$。
(2) 贝叶斯公式： $P(A_1 | B) = \frac{P(B | A_1) P(A_1)}{P(B)} = \frac{0.05 \times 0.2}{0.012} = \frac{0.01}{0.012} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6} \approx 0.833$。
难度: ⭐⭐
考点: #全概率公式 #贝叶斯公式
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思路分析
“先因后果”求概率用全概率，“执果索因”探究原因概率用贝叶斯。
🔄 举一反三
- 若人群比例改为 1:1，色盲概率变为多少？
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答案：$0.02625$
解析：$0.5 \times 0.05 + 0.5 \times 0.0025 = 0.02625$。
- (12 分) (1) 设随机变量 $X \sim Exp(1)$，求 $Y = X^2$ 的概率密度 $f_Y(y)$。
(2) 已知某班成绩 $X \sim N(72, \sigma^2)$, 且已知 96 分以上占 $2.3 \%$。求成绩在 60 至 84 之间的概率。
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解析： (1) 密度变换： 对于 $X \sim Exp(1)$，$f_X(x) = e^{-x}, x>0$。 $F_Y(y) = P(X^2 \leq y) = P(X \leq \sqrt{y}) = 1 - e^{-\sqrt{y}}$ ($y>0$)。 $f_Y(y) = \frac{d}{dy}(1 - e^{-\sqrt{y}}) = \frac{1}{2\sqrt{y}} e^{-\sqrt{y}}$ ($y>0$)。
(2) 正态分布参数求解与概率计算：
- 求 $\sigma$：$P(X > 96) = 0.023 \Rightarrow P(Z > \frac{96-72}{\sigma}) = 0.023$。 $\Phi(\frac{24}{\sigma}) = 1 - 0.023 = 0.977$。 由已知数据 $\Phi(2) = 0.977$，得 $24/\sigma = 2 \Rightarrow \sigma = 12$。
- 求区间概率：$P(60 < X < 84) = P( \frac{60-72}{12} < Z < \frac{84-72}{12} ) = P(-1 < Z < 1)$。 $P = \Phi(1) - \Phi(-1) = 2\Phi(1) - 1 = 2 \times 0.841 - 1 = 0.682$。
难度: ⭐⭐ 考点: #随机变量函数 #正态分布查表
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 正态分布标准化：$Z = \frac{X-\mu}{\sigma}$。
🔄 举一反三
- 若求 $P(X < 48)$ 的概率？
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答案：$0.023$解析：$P(X<48) = P(Z < -2) = 1 - \Phi(2) = 1 - 0.977 = 0.023$。
- (10 分) 设 $(X, Y)$ 密度 $f(x,y) = \begin{cases} 1/\pi, & x^2 + y^2 \leq 1 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$。 (1) 求 $f_X(x)$ ; (2) 计算 $Cov(X, Y)$ ; (3) 计算 $E(XY^2)$.
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解析： (1) 边缘密度： $f_X(x) = \int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} \frac{1}{\pi} dy = \frac{1}{\pi} [y]_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} = \frac{2}{\pi}\sqrt{1-x^2}$ ($|x| \leq 1$)。
(2) 协方差： 利用对称性。区域为单位圆盘，关于坐标轴对称。 $E(X) = 0, E(Y) = 0$。 $E(XY) = \iint_D xy \frac{1}{\pi} dA = 0$ (因为被积函数在对称区域上关于坐标轴是奇函数)。 故 $Cov(X, Y) = 0 - 0 \times 0 = 0$。
(3) 期望 $E(XY^2)$： $E(XY^2) = \iint_D xy^2 \frac{1}{\pi} dA$。 被积函数 $xy^2$ 关于 $x$ 是奇函数，区域 $D$ 关于 $y$ 轴对称。 因此 $\iint_D xy^2 dA = 0$。故 $E(XY^2) = 0$。
难度: ⭐⭐⭐ 考点: #边缘密度 #对称性简化积分 #协方差
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 奇偶对称性：在关于坐标轴对称的区域上，奇函数的积分为 0。 :::
🔄 举一反三
- $f(x,y)=1/2 \ (|x|+|y| \leq 1)$，求 $Cov(X,Y)$。
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答案：$0$
- (10 分) 已知 $D(X) = 4, D(Y) = 9, D(X - 2Y) = 20$ 。试求： $\rho_{XY}$ 及 $Cov(X + Y, X - 3Y)$ 。
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解析：第一步：求 $Cov(X, Y)$ 由公式 $D(aX + bY) = a^2 D(X) + b^2 D(Y) + 2ab Cov(X, Y)$。 对于 $D(X - 2Y)$，有：
第二步：求 $\rho_{XY}$
第三步：计算 $Cov(X + Y, X - 3Y)$ 利用线性性质展开：
难度: ⭐⭐ 考点: #协方差线性性质 #方差计算公式
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- $Cov(aX, bY) = ab Cov(X, Y)$。
- $Cov(X, X) = D(X)$。 :::
🔄 举一反三
- $D(X)=1, D(Y)=4, Cov(X,Y)=1$，求 $D(2X-Y)$。
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答案：$4$
- (10 分) 已知总体 $X \sim \pi (\lambda)$。设 $X_{1}, \dots, X_{n}$ 是来自该总体的样本，求参数 $\lambda$ 的矩估计量和最大似然估计量。
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解析： (1) 矩估计： 总体均值 $E(X) = \lambda$。 令样本均值 $\bar{X} = E(X)$，得 $\hat{\lambda}_1 = \bar{X}$。
(2) 最大似然估计： 似然函数 $L(\lambda) = \prod_{i=1}^n \frac{\lambda^{x_i}}{x_i!} e^{-\lambda} = \frac{\lambda^{\sum x_i} e^{-n\lambda}}{\prod x_i!}$。 对数似然：$\ln L(\lambda) = (\sum x_i) \ln \lambda - n\lambda - \sum \ln(x_i!)$。 求导：$\frac{d \ln L}{d \lambda} = \frac{\sum x_i}{\lambda} - n$。 令导数为 0：$\frac{\sum x_i}{\lambda} = n \Rightarrow \hat{\lambda}_2 = \frac{1}{n} \sum x_i = \bar{X}$。
难度: ⭐⭐ 考点: #矩估计 #极大似然估计
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 泊松分布概率质量函数：$P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$。 :::
🔄 举一反三
- $X \sim P(\lambda)$，样本 $1,2,3$，求 $\lambda$ 的矩估计。
查看练习答案与解析
答案：$2$
- (7 分) 设某总体的测量值服从正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$，其中 $\mu, \sigma^2$ 均未知。现从该总体中随机抽取容量为 16 的样本，测得样本均值为 $\bar{x} = 198.2$，样本标准差为 $s = 3$。在显著性水平 $\alpha = 0.05$ 下，检验假设 $H_0: \mu = 120, H_1: \mu \neq 120$。
查看答案与解析
解析：第一步：建立假设
第二步：构造并计算检验统计量 由于总体方差 $\sigma^2$ 未知，且为小样本（$n=16$），故采用 $t$ 检验统计量：
代入已知数据 $n=16, \bar{x}=198.2, s=3, \mu_0=120$：
第三步：确定拒绝域并做出决策 显著性水平 $\alpha = 0.05$，自由度 $df = n - 1 = 15$。 查表得双侧检验的临界值为 $t_{\alpha/2}(n-1) = t_{0.025}(15) = 2.13$。 由于 $|t| = 104.267 > 2.13$，检验统计量落入拒绝域中。
结论：在 $\alpha=0.05$ 的显著性水平下，拒绝原假设 $H_0$，即认为该总体的均值显著不等于 120。
难度: ⭐⭐ 考点: #假设检验 #t检验
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- $t$ 检验统计量：$t = \frac{\bar{X}-\mu_0}{S/\sqrt{n}} \sim t(n-1)$。 :::
🔄 举一反三
- $n=25, \bar{x}=50, s=5, H_0: \mu=48$，求 $t$ 统计量值。
查看练习答案与解析
答案：$2$